明敏克雷西发自凹非寺
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9 位数学家、横跨 30 余年、5 篇论文共计 800+ 页……
几何朗兰兹猜想，终于被证明！
它是朗兰兹纲领的几何化版本。
朗兰兹纲领被视为现代数学研究中最大的单项项目，被称为“数学的大统一理论”。它提出数论、代数几何、群表示论这三个独立发展的数学分支之间其实密切相关。
费马大定理被完全证明，就得益于对朗兰兹纲领的应用。安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）对一小部分函数的数论朗兰兹的关系的证明，就解决了困扰数学界 300 年的难题。
几何朗兰兹猜想作为朗兰兹纲领的几何版本，在上世纪 80 年代被提出。它提供了一种将数论方法和概念应用于几何问题（反之亦成立）的框架。
利用该猜想，可以为数学、物理领域诸多悬而未决的问题提供新思路和工具。比如可以应用于量子场论和弦理论研究。
因此，当几何朗兰兹猜想被证明，无疑会轰动数学界。
主要研究朗兰兹纲领的菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨（Peter Scholze）将这一最新成果评价为“30 年努力的巅峰”。
看到它能被解决真的太好了！
几何朗兰兹纲领创始人之一亚历山大·贝林森（Alexander Beilinson）也表示：
这个证明真的非常美丽，是同类中最好的。
该研究由丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）和山姆·拉斯金（Sam Raskin）领导完成。
9 人团队中，还包括中国学者陈麟。
他是清华大学丘成桐数学科学中心助理教授，曾在 15 岁时摘得 IMO 金牌。
几何，朗兰兹纲领的最后一环
朗兰兹纲领的提出在 1967 年。
30 岁的普林斯顿大学教授罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）给“数学的罗塞塔石碑”创始人安德烈·韦尔 (André Weil) 寄去了一封长达 17 页的手写信，信中向阐述了他的愿景。
（这里的“罗塞塔石碑”是一种比喻，指的是由数学家 André Weil 提出的一个数学领域之间的类比，这个类比把数论、几何学和函数域这三个看似不同的数学领域联系在了一起。）
朗兰兹写道，在“罗塞塔石碑”的数论和函数域中，有可能创建出傅里叶分析的推广。
傅里叶分析是一种将复杂波形表示为平滑振荡三角函数波的框架，是现代电信、信号处理、磁共振成像以及许多现代生活的基本技术。
类似于傅里叶分析中函数与其傅里叶变换之间的关系，朗兰兹纲领通过在这三个领域中建立类似的“对应关系”将它们联系起来。
傅里叶变换在波和频谱之间来回转换，朗兰兹纲领当中也有相应的“波”和“频谱”。
其中“波”的一面由某些特殊函数构成，“频谱”的一面则由某些代数对象构成，用以标记“波”的频率：
- 在数论中，函数是定义在p-adic 数域或者阿德尔环上的特殊函数，代数对象是 Galois 群或者与之相关的群的表示；
- 在几何中，函数是定义在黎曼曲面上的特征层(D-模)，代数对象是黎曼曲面基本群在某个代数群G上的表示；
- 在函数域中，函数是定义在曲线上的特殊函数，代数对象是 Galois 群或者与之相关的群的表示。
因此，朗兰兹纲领提供了一个统一的视角，将数论、几何、函数域这三个数学分支联系起来，并由此带来了一系列深刻而广泛的数学问题和猜想。
通过朗兰兹纲领的框架，许多传统数论中的难题可以转化为表示论或其他领域中的问题，从而以新的视角和工具加以解决，朗兰兹纲领的思想和方法在许多具体的数学问题中得到了应用。
△罗伯特·朗兰兹
例如，费马大定理的证明就借鉴了朗兰兹纲领中的思想，将椭圆曲线和模形式联系起来，并最终通过这些联系取得了成功。
除了数学本身，朗兰兹纲领对物理学等其他学科也起到了重要作用，比如在量子场论和弦理论中，朗兰兹纲领的某些思想和方法得到了应用。
其中，几何朗兰兹猜想不仅拥有更广泛的应用和联系，还提供了几何视角的强大工具，因此在朗兰兹纲领中显得尤为重要。
但几何朗兰兹猜想证明的历程也十分艰难，前后一共跨越了跨越 30 年，最终的证明工作从 2013 年才开始。
核心的证明内容，是关于黎曼曲面上的自相似性和对称性的深层次对应关系。
再次借用傅里叶分析的模式来解释的话，就是数学家们很早就了解了几何朗兰兹猜想的“频谱”一侧，但对“波”一侧的理解则经历了漫长的过程。
甚至在朗兰兹刚提出这一纲领的时候，几何部分根本没有被包括在内，直到 80 年代，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）意识到，通过用特征层替换特征函数，有可能创建一个几何版本的朗兰兹对应关系。
而几何朗兰兹猜想的精确表述，更是本世纪才出现——2012 年，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与迪玛·阿林金（Dima Arinkin）一起，用一篇 150 多页的论文给出了这一表述。
丹尼斯和阿林金指出，证明几何朗兰兹猜想的核心思想是找到一个等价关系，将代数曲线X上的G-丛（代数空间G上的纤维丛，其纤维是G的副本）的D-模（某些空间上的微分方程的解）范畴与朗兰兹对偶群^的局部系统的 Ind-Coh 范畴（包含了所有 Ind-上同调对象）联系起来，即：
2013 年，丹尼斯写下了几何朗兰兹猜想证明的草图，但这个草图依赖于许多尚未被证明的中间结果，此后的几年，丹尼斯和他的合作者致力于证明这些结果。
2020 年，丹尼斯开始思考如何理解每个特征层对“白噪声”的贡献，这一思想后来成为证明的关键部分。
这里的“白噪声”指的是结合朗兰兹猜想中的庞加莱层（Poincaré sheaf），作者以此类比是基于傅里叶变换中的正弦波。
2022 年春，山姆·拉斯金（Sam Raskin）和他的学生乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）证明了每个特征层都以某种方式贡献于“白噪声”，这一结果让丹尼斯确信他们很快就能完成证明。
从 2023 年起， 丹尼斯、山姆以及其他 7 位合作者向几何朗兰兹猜想发起了最后攻关，最终的证明包含 5 篇论文，篇幅超过 800 页，并于今年发表。
第一篇关于函子（functor）的构造，需要在特征为零的环境下，从自守（automorphic）到谱方向构造几何朗兰兹函子 LG 并证明其等价性，即能够在两个范畴之间建立一一对应的关系。
如果这一等价性能够得到证明，那么就能说明几何朗兰兹猜想成立。
第二篇研究了 Kac-Moody 定位与全局的相互作用，证明了该函子在特定条件下确实是一个等价性函子，从而推进了几何朗兰兹猜想的证明。
第三篇起到了桥梁的作用，不仅将已知的等价性结果扩展到了更一般的情况，而且还通过 Kac-Moody 局部化技术，为理解几何朗兰兹函子与常数项函子的兼容性提供了关键的洞见。
同时，通过证明在可约谱参数下几何朗兰兹猜想的兼容性，这一篇论文为进一步证明不可约谱参数下的几何朗兰兹猜想奠定了基础。
在第四篇论文中，作者们证明了一个关键的定理——Ambidexterity 定理。这个定理表明，LG-cusp（可以视为 LG 在一个特定的、更小的范畴上的行为）的左伴随和右伴随是同构的，这是证明 LG 是一个等价性函子的重要步骤。
最后一篇论文则利用这一结论将猜想推广到了一般情况，为旷日持久的证明工作画上了句号。
两代数学家合力攻坚
研究团队由哈佛大学教授丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）和耶鲁大学教授山姆·拉斯金（Sam Raskin）领衔。
其余作者从左至右顺时针方向分别是：达里奥·贝拉尔多（Dario Beraldo）、陈麟（Lin Chen）、凯文·林（Kevin Lin）、尼克·罗森布吕姆（Nick Rozenblyum）、乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）、贾斯廷·坎贝尔（Justin Campbell）和迪玛·阿林金（Dima Arinkin）。
△图源：Quantamagazine
值得关注的是，研究小组包括中国学者：陈麟。
陈麟，清华大学丘成桐数学科学中心助理教授。2016 在北京大学取得学士学位，2021 年博士毕业于哈佛大学，曾荣获哈佛 2020-2021 优秀奖学金。
他曾在十几岁时就展现出超强的数学天赋，12 岁进入中国数学奥林匹克（CMO）竞赛并获得满分，15 岁进入国家队并参加国际数学奥林匹克（IMO）竞赛取得金牌。
陈麟长期研究几何朗兰兹纲领，他与该方向的结缘，正是来自丹尼斯·盖茨戈里。
陈麟在此前采访中透露，他是在丹尼斯的带领下才进入几何朗兰兹这一领域。博士之前，他几乎对几何表示论一无所知，很多基础知识都是在丹尼斯的指导下学习的。
博士毕业后，陈麟也一直参与丹尼斯和其他合作者的研究项目，有关全局的范畴化几何朗兰兹猜想。
完成猜想证明以及论文撰写后，他还会继续思考关于局部几何朗兰兹的问题。
实际上，朗兰兹纲领吸引着诸多中国数学学者。北大黄金一代中的恽之玮、张伟、袁新意、朱歆文，也正在攀登这一高峰。
参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061
