从回文数到 Smarandache 数，数学迷们探索特殊质数，揭示它们背后的魅力与挑战，展示人类对数字之美的无尽追求。
关于质数的一个有趣轶事涉及到 20 世纪最杰出的数学家之一 Alexander Grothendieck。据说，有一次在对话中，他被问到一个质数的名字。质数是数论的“原子”，只能被 1 和自身整除，并吸引了人类数千年的关注。而 Grothendieck 的回答是“57”，但 57 实际上能被 3 整除，并非质数。这一回答让“57”在学术圈中成了一个带有调侃性质的“质数”典故。
另一场对话则更具启发性。数学家 Neil Sloane 一次在餐桌上听到 Armand Borel 和已故的 Freeman Dyson 讨论质数。Borel 让 Dyson 说出一个质数，Dyson 随即给出了“231−1231−1”这个只有 1 和自身整除的数。但 Borel 并不满足，他要求 Dyson 背出一个大质数的所有数字。Dyson 沉默片刻后，Sloane 机智地插话道：“1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1。”
这组数字 1234567891098765432112345678910987654321 确实是一个质数，由 20 位数字组成，且非常容易记住：从 1 数到 10 再倒数回1。然而，这种从 1 开始递增到某个数字n再递减回来的回文形式是否还能生成其他质数却尚未明确。Sloane 称之为“记忆型”质数，并设计了一种通用表达式：123...(n−1)n(n−1)...321123...(n−1)n(n−1)...321。对于n=10，这一数为质数。但对于其他n值是否成立，数学家们展开了热烈讨论。
1964 年，Sloane 创建了一个数列数据库，这成为了后来在线整数数列百科全书(OEIS)的基础。OEIS 网站汇集了各类数列信息，鼓励专家交流，Sloane 本人也热衷于发起研究话题。他的在线活动推动了对记忆型质数的研究，并引发了一场对类似特殊质数的追逐。
记忆型质数是否无限存在？
2015 年，印度工程师 Shyam Sunder Gupta 宣布发现n=2446 时的记忆型质数。这一数值有 17350 位，但他并未在学术期刊上发表，而是通过一个数论研究邮件列表分享了这一结果。Gupta 解释，这类易记的大质数对加密通信具有重要意义，因而激发了他的热情。
截至目前，数学家已验证到n=60000，除了n=10 和 2446，没有发现其他记忆型质数。然而，一些专家推测这类质数应该是无限的。虽然缺乏确凿证明，但基于质数在数轴上随机分布的“启发式”推测，这类数有可能存在，只是非常稀少。Gupta 坚信，这类回文型质数虽罕见，却不会止于此。
其他记忆型质数的探索
2015 年 9 月，Sloane 向数论界发出了一项新挑战：寻找另一种记忆型质数，即仅由递增数字构成的数列，例如 123...(n−2)(n−1) n123...(n−2)(n−1)n。由于质数不能以偶数或 5 结尾，这一挑战排除了 60% 的可能性。即便如此，基于启发式推测，这类质数也可能是无限的。
然而，初步搜索并未有突破。在n达到 106106 之前，这类质数仍未被发现。随后，Sloane 联系了“大型梅森质数搜索”团队，请求协助寻找这种新类型的质数，但项目最终因缺乏成果而中止。
尽管如此，Sloane 依然鼓励人们保持好奇心，并继续探索。例如，他曾激励计算生物学家 Serge Batalov 寻找另一种形式的 Smarandache 质数——数字从大到小递减排列的回文型质数。截至目前，仅发现两例，而 Batalov 也未能找到更多。
Gupta 在这一领域的贡献同样显著，但尚未取得新突破。2023 年，软件开发者 Tyler Busby 指出，第三个此类质数的n值必须超过 84300，这无疑增加了寻找的难度。
持续的热情
目前，这些探索主要由业余数学爱好者推动，因为此类质数并未带来直接的数学突破。但 Sloane 并未放弃，这位 85 岁的数学家依然通过各种方式传播对数学的热爱，并激励更多人参与其中。正如 Gupta 所言：“我仍在寻找各种易记的大质数，并偶尔有所发现。”
本文译自 Scientific American，由 BALI 编辑发布。
