新智元报道
编辑：Aeneas
2000 多年的素数问题，被牛津和哥大的数学家找到了新进展！在这个很难有进展的领域，他们取得了意外的突破。更神奇的是，证明过程背后竟隐藏着一个令人拍案叫绝的新思路。
2000 多年的素数问题，刚刚迎来了新进展！
牛津大学的本·格林和哥伦比亚大学的梅塔布·索尼发现了，如何从所有素数花园中挑选出特定形式的素数。
素数，属于数论中最基本的问题之一。
而为了取得进展，这次两位数学家转向了一个不太可能的来源，从而做出了新的证明。
这项证明，使得数学家距离理解这些「算术原子」的隐藏顺序，又近了一步。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2410.04189
2000 多年的素数问题
素数（只能被自身和 1 整除的数字），是数学中最基本的组成部分。
乍一看，它们似乎随机分布在数轴上，但实际上，它们完全不是随机的。
数学家们花了几个世纪的时间，试图解开这些模式。如果能更好地理解素数，将照亮数学宇宙的广阔领域。
虽然数学家们可以依靠公式，大致了解素数的位置，但却无法将它们准确定位。因此，他们不得不采取更间接的方法。
公元前 300 年左右，欧几里得证明：素数有无穷多个。
此后，数学家们以欧几里得定理为基础，再次证明，满足特定条件的素数有无穷多个。
比如：是否存在无限多个不包含数字 7 的素数？
随着时间的推移，通过证明在这些越来越严格的限制条件下仍然存在无限多个素数，数学家们得以更深入地了解素数的分布规律。
然而，想要直接给出证明，却很困难。
不过现在，Ben Green 和 Mehtaab Sawhney 已经针对一种极有挑战性的素数类型，成功地给出了证明。
一个试探性的集合
数学家往往会研究那些既足够复杂以引发兴趣，又足够简单以便取得进展的素数族群。
例如，他们可能会尝试证明「间隔为 500 个单位的素数有无穷多个」，或者通过将其他数的平方相加，来构造出无穷多个素数。
这个一个条件非常有用，指导了几个世纪的数学进步。
1640 年，数学家费马猜想，将两个整数的平方相加，可以得出无数个素数。（例如，素数 13 可以写成2^2+3^2 。
后来，这一猜想被欧拉证明。
不过，如果把这个问题稍微改一下，比如要求其中一个平方根必须是奇数或完全平方数，那问题就会变得格外困难。
如 Green 所说，对集合的限制越多，在其中找到素数就越困难。
在 19 世纪，对此类陈述的研究，直接导致了许多现代数论的发展。
在 20 世纪，它启发了迄今最雄心勃勃的数学研究之一—— 朗兰兹计划（Langlands program）。
进入 21 世纪后，对此类素数的研究也在不断产生新的成果。
卓有成效的牛津一周
2018 年，罗格斯大学的 Friedlander 和 Henryk Iwaniec 提出这样一个问题：是否存在无限多个p^2+4q^2 形式的素数，其中p和q也必须是素数？（比如，41=5^2+4× 2^2。）
事实证明，处理这类条件格外有挑战性。
但是，如果数学家们突破这一挑战，他们就将成功地对素数施以前所未有的控制——这正是他们一直以来的期望。
Mehtaab Sawhney
此前，Green 和 Sawhney 都没有玩过这类的素数计算游戏，但他们都有研究素数引起的奇怪模式的经验。
七月，两位数学家在爱丁堡的一次会议上会面。
刚读完研的 Sawhney，一直非常欣赏 Green。他表示，正是 Green 20 年前证明的一项开创性成果，让自己踏入这个领域。Green 也对 Sawhney 印象深刻。
Ben Green，牛津大学数学家
两人决定合作，最终，他们确定了方向：Friedlander 和 Iwaniec 的猜想。
Green 邀请 Sawhney 来牛津待一周。这是因为，为了证明类似的猜想，数学家通常会依赖一套特定的计数技术。
但是，由于问题中的素数定义非常严格，Green 和 Sawhney 找不到一个方法，让传统的工具包发挥作用。
怎么办？
两人决定，采用一种更迂回的方式来证明这个猜想——用一种类似数学下棋的方式。
但首先，他们必须证明，自己有资格走这一步棋。
花了一段时间后，两人确信：这一点可以做到，因此他们能够证明这个猜想。
尝试另外一个集合
既然无法直接计算由两个素数平方后相加得到素数的数量，那如果稍微放宽一下条件呢？
他们意识到，可以解决一个略微弱化的问题——被平方的数字只需要「近似」于素数即可。
「粗略素数」比真正的素数容易找到得多。
比如，如果要数出 1 到 200 之间的粗略素数，可以首先考虑一些最小的素数，如2、3、5 和7。
然后，列出所有不能被这些素数整除的数字。这些数字就是粗略素数。
在这个例子中，你会发现共有 50 个粗素数，其中有 46 个是真正的素数，而剩下的四个（121、143、169 和 187）则不是。
由于粗略素数的分布比素数的分布规律性更强，因此处理起来要容易得多。
Green 和 Sawhney 成功证明，将两个粗略素数的平方相加，就可得到无限多个素数。
接下来他们只需证明，这一结论能够推导出他们真正想要的问题：存在无限多个素数，可以表示为两个素数的平方和。
Tamar Ziegler 在素数方面的开创性工作，使研究人员能够将「高尔斯范数」（Gowers norm）移植到一个新领域
但这并不显而易见。他们必须针对每个版本的问题分析一组特殊的函数，称为I型和 II 型和，然后证明无论使用哪种约束，这些和都是等价的。
只有如此，Green 和 Sawhney 才能确保他们可以将粗略的质数代入证明中，而不会丢失信息。
他们很快意识到：他们可以利用一种工具来证明这些和式是等价的，而这种工具是他们在之前的工作中都遇到过的。
这种工具被称为 Gowers 范数，几十年前由数学家 Timothy Gowers 开发，用于测量一个函数或一组数字的随机性或结构性。
表面上看，Gowers 范数似乎属于完全不同的数学领域。「作为局外人，几乎无法看出这些东西之间的关联，」Sawhney 说。
但通过利用 2018 年数学家陶哲轩和 Tamar Ziegler 证明的一个里程碑结果，Green 和 Sawhney 找到了将 Gowers 范数与I型和 II 型和式联系起来的方法。
本质上，他们需要使用 Gowers 范数来证明他们的两组质数——一组是使用粗略质数构建的，另一组是使用真实质数构建的——足够相似。
结果证明，Sawhney 知道如何做到这一点。
今年早些时候，为了解决一个无关的问题，他开发了一种使用 Gowers 范数比较集合的技术。
令他惊讶的是，这种技术恰好足够用来证明这两组集合具有相同的I型和 II 型和式。
通过这一成果，Green 和 Sawhney 证明了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜想：存在无限多个质数可以表示为p^2+4q^2 的形式。
最终，他们还将这一结果推广，证明了其他类型的家族也存在无限多个质数。
这一成果在一个通常进展极为罕见的领域中，标志着一次重要的突破。
更重要的是，这项工作表明，Gowers 范数可以在一个新的领域中作为一个强有力的工具使用。
现在，数学家们希望进一步拓展 Gowers 范数的应用范围，尝试用它来解决数论中除质数计数以外的其他问题。
「看到我曾经思考过的一些东西有了意想不到的新应用，对我来说非常有趣，」Ziegler 说。「这就像父母看着孩子成长，自由发展，做出一些神秘又出乎意料的事情。」
参考资料：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/
