中国女数学家首个菲尔兹奖要来了？？
就在最近，数学大佬陶哲轩激动宣布：
困扰数学家上百年的经典难题——挂谷猜想（Kakeya 猜想），被北大校友王虹及哥大数学副教授 Joshua Zahl 在三维空间中证明了。
根据陶哲轩的科普，三维 Kakeya 猜想断言：
一个包含每个方向上单位长度线段的集合（Kakeya 集），在三维空间中必须具有 Minkowski 和 Hausdorff 维度等于三。（具体下文再详细展开）
虽然看起来只有一句话，但这个问题却与调和分析、数论等多个数学分支有着紧密联系，因此一直以来吸引了无数数学家竞相攻克。
现在，北大校友王虹和 Joshua Zahl 用127 页论文证明了这一说法。
这事儿马上在国内引发诸多热议。
有人表示，一旦上述 arXiv 预印本通过审稿，凭借这一突破，王虹成为了2026 年菲尔兹奖的热门人选。
要知道，菲尔兹奖是国际数学界最负盛名的奖项之一，被称为数学界的“诺贝尔奖”。
它旨在表彰那些在数学领域做出杰出贡献的年轻数学家（40 岁以下）。该奖项每四年颁发一次，通常在国际数学大会（International Congress of Mathematicians, ICM）上宣布获奖者。
根据平乐县宣传部的一则报道，王虹出生于 1991 年，如今只有 34 岁。如果她能够获奖，将实现“首位中国籍女性数学家获菲尔兹奖的成就”。
Kakeya 猜想：数学领域的经典难题
首先，Kakeya 猜想由日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）于 1917 年提出，也被称为挂谷猜想。
这个问题的原型是：
一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周 360°（支点可以变化）。但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？
转换成数学表达即为：
当一根无限细的针向所有可能的方向旋转时，可以扫过的最小面积是多少？
△图源：Merrill ShermanQuanta
数学家将这些排列称为 Kakeya 集，在三维空间中，Kakeya 集包含了从所有方向都能看到的一根短线（单位长度的线段），而三维 Kakeya 猜想断言：
即使 Kakeya 集（R3）可能看起来非常稀疏，因为它们是由一系列的线段轨迹组成的，但其 Minkowski 维度和 Hausdorff 维度都等于3。
其中 Minkowski 维度也被称为“盒子维度”，通过不断缩小覆盖 Kakeya 集的结构（如使用盒子或球体），可以计算出在不同尺度下覆盖集合所需的数量与尺度大小的关系。
而 Hausdorff 维度则更精细，它考虑了更细致的覆盖方式，允许使用不同大小和形状的集合来覆盖 Kakeya 集，并通过这些覆盖的最小化程度来定义维度。
当这两个维度均为3，从数学的角度来看，这些集合在几何上与整个三维空间相同，它们在某种意义上填满了空间的大部分。
换句话说，尽管这些集合的外观可能非常稀疏，但它们实际上在几何上具有与整个空间相同的 “体积” 或 “大小”。
以上说法转换成数学表达式如下：
使用小尺度参数（0<<1），考虑一个由 xx1 的管子组成的集合。
这里的管子可以看作是一种细长的三维几何体，其横截面是边长为的正方形，长度为1。集合中的管子数量大致为≈-2，并且这些管子的指向是在一个-分离的集合方向上。
所谓-分离，意味着任意两个管子的方向之间的夹角至少为。通过这样的方式，将连续的、复杂的 Kakeya 集问题，转化为对这些离散的、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究。
而猜想在这种离散化情况下，这些管子的并集U∊的体积应该大约为1。
为了简化证明过程，论文引入了几种简化假设。例如，假设管集合是“粘性的”，即它们在多个尺度上保持相似的结构。
基于此，该领域先前研究集中于形式为下界的研究（集合的最小可能维数）：
具体而言，在三维空间中，对于各种介于 (0 < d < 3) 之间的维数，人们期望d尽可能大。
早期研究中，人们陆续证明了d=1（仅考虑单管）、d=2（结合 L2 论证与线相交性质）、d=2.5（1995 年 Wolff 梳子论证）的情况。
对维度参数d进行归纳
直到最近，王虹、Joshua Zahl 二人证明了d=3的情况。
概括而言，他们采用的证明策略十分复杂，通过引入非聚集条件、Wolff 公理、多尺度分析等技术来进行了一系列论证。
这里我们直接看陶哲轩帮忙总结的关键技术环节：
他们证明的总体思路是对维度参数d进行归纳。
他们先定义了一种情况K(d)，目标是通过数学推导，证明对于处于一定范围的维度参数d，存在一种能从K(d)推导出K(d+)的关系，其中是一个大于 0 且和d有关的数。
PS：K(d)是指对于所有尺寸为 xx1、方向为分隔的约-2 个管子的配置，不等式（1）成立。
通过不断重复这个推导过程，让维度参数d逐渐接近3。
具体来说，他们核心使用多尺度分析技术，对于管子的集合及其组织结构进行了深入研究。
他们对粗细管进行了分组，并将细管组合成粗管。因为细管的方向具有特定的分布性质，所以每个粗管能容纳的细管数量是有限的，相应地，要覆盖所有细管就需要一定数量的粗管。
然后，基于K(d)定义下的不等式，他们计算出了粗管的总体积下限，再结合之前计算粗管总体积的方法和结果，进一步分析出了粗管的一个特殊属性—— “多重性”。
这是指在粗管占据的空间里，管子分布的一种密集程度或重叠程度。
接下来，通过对粗管里的细管进行缩放，并再次结合K(d)定义下的不等式，他们得出了缩放之后细管的多重性。
综合上述粗管和细管多重性的信息，理论上就能得出所有细管集合的多重性范围。
结果是，在一种叫做 “粘性”（sticky）的特殊情况下，他们发现得到的结果和一开始想要证明的不等式相符。
这里补充一下，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此紧密贴合，形成了所谓的 “发际”（hairbrush）结构。
另外，在处理非粘性情况时，他们引入了 “粒状化”（graininess）理论，这是对集合内部结构的一种描述，它可以帮助理解集合如何在不同尺度上组织。
由于在 “非粘性” 情况下，粗管和细管的配置出现了不平衡，没办法直接使用前面的K(d)，于是他们考虑了一个特殊集合（加厚的 Kakeya 集）和一个球的相交情况。
如果K(d)成立，那么这个特殊集合可能会表现得像某种维度的分形；要是这个特殊集合在某个尺度下比预期的更密集，结合这个特殊集合的邻域体积和球的体积进行分析，就能得到一个新的结论。
而这个结论就是他们期望证明的K(d+)，这个特殊的密集情况也被看作是一种“Frostman 测度违反”。
除此之外，研究还涉及到了对 “Katz-Tao Convex Wolff axioms” 的应用，这是一组描述管子集合行为的假设，它们在证明中作为归纳假设使用。
更多细节可查看原论文。
16 岁考入北大，转专业来到数学系
这项研究的作者一共只有两位：王虹和 Joshua Zahl。
其中北大校友王虹目前是纽约大学数学系副教授。
她 1991 年出生于广西桂林平乐县，小学期间连跳两级，16 岁时以 653 分考入北京大学地球与空间物理系，后转入数学系，2011 年获得学士学位。
2014 年获得巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位。2019 年博士毕业于麻省理工大学，师从 Larry Guth。
2019-2021 年是普林斯顿高等研究院的博士后成员；2021-2023 年在加州大学洛杉矶分校担任助理教授。
主要的研究方向为傅里叶变换相关问题。
例如，如果我们知道一个函数的傅里叶变换在某些曲线物体上有定义，比如球面，或者在一些“弯曲”的离散点集合上有定义，那我们可以对这个函数做出什么样的判断？如何以一种有意义的方式将这个函数分解成若干部分（这与解耦理论有关）？事实证明，这类问题还与 Falconer 距离问题和交点几何学有关，我对这些关联也很感兴趣。
另一位作者为 Joshua Zahl。他现在是不列颠哥伦比亚大学数学系副教授。
主要研究方向为古典傅里叶分析和组合学。对交点几何学、限制问题和 Kakeya 问题非常感兴趣。
论文：
